- Abschlussarbeit:
- Master in Mathematik
- Autor:
- Timo Dörzbach
- Titel:
- Nonparametric estimation for linear stochastic partial differential equations from local measurements
- Betreuer:
- Maximilian Siebel
- Jan JOHANNES
- Abstrakt:
- Die vorliegende Arbeit führt von Grund auf eine Methodik zur parametrischen und nichtparametrischen Schätzung des Koeffizienten bzw. der Koeffizientenfunktion eines führenden Differentialoperators zweiter Ordnung ein, welche auf Beobachtungen basiert, die einer linearen stochastischen partiellen Differentialgleichung genügen. Das Verfahren beruht auf zeitstetigen Messungen, die lokalisiert im Raum liegen. Bei fixiertem endlichen Zeitintervall untersuchen wir das asymptotische Verhalten im Hinblick auf Reskalierungseigenschaften einer Lösung der Differentialgleichung, wenn sich der Auflösungsgrad der Beobachtungen dem Wert null annähert. Während der Ermittlung von Skalierungsgrenzwerten der deterministischen und stochastischen partiellen Differentialgleichung auf immer größer werdenden Gebieten, wird die zugrundeliegende Struktur der Wärmeleitungsgleichung offengelegt. Weiterhin werden zwei minimax-optimale Schätzer konstruiert, welche robust gegenüber Störungen niedrigerer Ordnung des Differentialoperators sind, sodass wir selbst im nichtparametrischen Fall einer räumlich variierenden Koeffizientenfunktion die parametrische Konvergenzrate erreichen. Der Ansatz wird in den größeren Kontext der statistischen Inferenz für stochastische partielle Differentialgleichungen eingeordnet, und die wichtigsten jüngsten Entdeckungen, basierend auf der neuartigen Idee, werden kurz umrissen.
- Literatur:
- R. Altmeyer und Markus Reiß. Nonparametric estimation for linear SPDEs from local measurements The Annals of Applied Probability 31(1):1–38, 2021.
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