- Abschlussarbeit:
- Master in Mathematik
- Autorin:
- Janine Steck
- Titel:
- Fourier-type density estimation in a tomography problem
- Betreuer:
- Sergio Brenner Miguel
- Jan JOHANNES
- Abstrakt:
- In dieser Masterarbeit untersuchen wir die nichtparametrische Kerndichteschätzung einer mehrdimensionalen, unbekannten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f in einem Tomografie-Problem. In diesem Fall haben wir nur Zugang zu indirekten, unabhängig und identisch verteilten Beobachtungen, deren gemeinsame Dichte proportional zur Radon-Transformierten ist. Der Fourier-Ansatz zur Dichteschätzung wird vorgestellt, um den Schätzer von f in dem idealisierten Tomografie-Problem abzuleiten. Zunächst untersuchen wir den Fourier-Ansatz und zeigen die Minimax- Optimalität für den mittleren quadratischen Fehler und den mittleren integrierten quadratischen Fehler über die Fourier–Sobolev-Räume, die die Regularität der unbekannten Dichte durch den Abfall ihrer Fourier-Transformierten charakterisieren. Weiter zeigen wir die Minimax-Optimalität für den mittleren quadratischen Fehler des Dichteschätzers, der zu dem Tomografie-Problem gehört, und vergleichen die Konvergenzrate mit der des Fourier-Ansatzes. Typischerweise hängen die Konvergenzraten von unbekannten Glättungsparametern ab. Infolgedessen führen wir die datengetriebene Wahl der Glättungsparameter für beide Ansätze ein. Zum Schluss werden unsere theoretischen Ergebnisse durch Monte-Carlo-Simulationen anhand mehrerer Beispiele für den Tomografie-Ansatz veranschaulicht.
- Literatur:
- A. Abhishek und A. Sakshi. Adaptive estimation of a function from its Exponential Radon Transform in presence of noise, arXiv:2011.06887, 2020
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