- Abschlussarbeit:
- Inauguraldissertation zur Erlangung der Doktorwürde der Naturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakultät der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
- urn:nbn:de:bsz:16-heidok-296774
- Autor:
- Christof Schötz (Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg)
- Titel:
- The Fréchet mean and statistics in non-euclidean spaces
- Betreuer und Erstgutachter:
- Jan JOHANNES
- Enno Mammen (Universität Heidelberg)
- Zweitgutachter:
- Hans Georg Müller (University of California, Davis)
- Zusammenfassung:
- In dieser Dissertation werden statistische Eigenschaften des Fréchet-Mittelwertes und seiner Verallgemeinerungen in abstrakten Rahmen untersucht. Dadurch werden vielerlei verschiedene Anwendungen abgedeckt, welche insbesondere in der Untersuchung von Nicht-Standard-Daten von Interesse sind. Der Fokus der Arbeit liegt auf der Konvergenz und Konvergenzgeschwindigkeit des empirischen Fréchet-Mittelwertes unabhängiger Beobachtungen. Die abstrakten Ergebnisse werden beispielhaft in spezifischen Räumen angewendet. Der Erwartungswert einer reellwertigen, quadratintegrierbaren Zufallsvariable kann dadurch charakterisiert werden, dass er den erwarteten quadratischen Abstand zu dieser Zufallsvariable eindeutig minimiert. Diese Eigenschaft kann benutzt werden, um den Begriff Mittelwert zu verallgemeinern. Ein Fréchet-Mittelwert einer Zufallsvariable mit Werten in einem metrischen Raum ist jeder Minimierer des erwarteten quadratischen Abstandes zu dieser Zufallsvariable. Durch diese Definition werden zwei Dinge erreicht: Erstens werden viele gebräuchliche Arten von Mittelwerten – etwa der Erwartungswert, der Median oder das geometrische Mittel – in einem Begriff umfasst. Zweitens wird ein Mittelwertsbegriff für nicht-euklidische Räume – wie etwa die Kugel, der Raum phylogenetischer Bäume oder die Wasserstein-Räume – definiert, wodurch diese der Anwendung von Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zugänglich gemacht werden. Wir zeigen starke Gesetze der großen Zahlen für Mengen von Fréchet-Mittelwerten mit zwei verschiedenen Begriffen der Konvergenz von Mengen. Dabei setzen wir nur ein endliches erstes Moment voraus. Als nächstes wenden wir uns der Geschwindigkeit dieser Konvergenz zu. Zuerst zeigen wir anhand des projizierten Mittelwertes – einer Instanz des Fréchet-Mittelwertes – dass hierbei sehr unterschiedliche Konvergenzraten zustande kommen können, abhängig von der Geometrie des zugrundeliegenden Raumes und einiger Eigenschaften der Verteilung der Daten. Danach beweisen wir Konvergenzraten in einem allgemeinen Rahmen. Eine der Bedingungen, die wir dafür aufstellen, ist die Quadrupelungleichung – eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Diese und einige weitere der von uns aufgestellten abstrakten Bedingungen sind in Hadamard-Räumen – geodätische metrische Räume mit nicht-positiver Krümmung – erfüllt, sodass sie sich besonders zur Untersuchung im Kontext des Fréchet-Mittelwertes eignen. Wir zeigen eine Quadrupelungleichung für Potenzen von Hadamard-Metriken – ein rein geometrisches Resultat mit verblüffend komplexem Beweis. Zuletzt untersuchen wir Regressionsmodelle mit Zielwerten aus metrischen Räumen und einem bedingten Fréchet-Mittelwert als Regressionsfunktion. Wir vergleichen zwei Ansätze, wie bekannte Schätzer auf nicht-euklidische Szenarien angepasst werden können. Dabei zeigen wir Konvergenzraten für vier verschiedene Schätzer; zwei davon sind neue Methoden. Die Verfahren werden auf der Kugel angewendet und verglichen. Zu diesem Zweck wurde eigens ein R-Paket entwickelt.
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