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Zuletzt geändert am
10 Okt 2024 von JJ
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Seminar (WS 2024/25)

Extremwerttheorie

Vorbesprechung:
Donnerstag 17. Oktober 2024, 11:15 Uhr,
MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR 6

Zeit und Ort des Seminars:
Donnerstag 11:15-12:45 Uhr, MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR 6
Bitte melden Sie sich für das Seminar mittels MÜSLI an.

Kontakt:
Jan JOHANNES <johannes[at]math.uni-heidelberg.de>
Maximilian Siebel <siebel[at]math.uni-heidelberg.de>
Anfragen bitte entweder direkt per eMail.

Sprache:
Das Seminar wird in Deutsch angeboten.
Es ist aber möglich einzelne Vorträge auf Englisch zu halten.

Inhalt des Seminars:
Das Seminar soll einen Einblick in die Extremwerttheorie geben. Als Literaturvorlage verwenden wir das Skript zur Vorlesung Extremwerttheorie von Zakhar Kabluchko (Universität Münster) [1].
Es wird erwartet, dass jede/r Teilnehmende einen 60 Minütigen Vortrag hält. Ein Handout mit den wichtigsten Definitionen, Ergebnissen und kurzen Beweisideen sollte für die anderen Seminarteilnehmenden vorbereitet werden.

Seminarprogramm:
Teil 1: Extremwertverteilungen und Max-Anziehungsbereiche
  • Einführung: Was ist Extremwerttheorie? (Kapitel 1)
    • die Verteilung des Maximums einer Zufallsvariablen
    • die drei möglichen Extremwertverteilungen: Gumbel, Fréchet, Weibull
    • der Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko
    • max-Anziehungsbereiche
  • Cauchy-Funktionalgleichung (Kapitel 2)
    (Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Fisher-Tippett-Gnedenko)
    • Definition von additiven und multiplikativen Funktionen
    • Satz von Cauchy (Charakterisierung stetiger additiver Funktionen)
    • Satz von Steinhaus, Satz von Ostrowski (Charakterisierung messbarer additive Funktionen)
    • Hamel-Funktionen (Notwendigkeit der Messbarkeitsbedingung)
  • Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko (Kapitel 3)
    • "convergence-of-types"-Theorem (Satz von Chintschin)
    • max-stabile Verteilungen
    • Äquivalenz von Extremwertverteilungen und max-stabilen Verteilungen.
    • Charakterisierung von max-stabilen Verteilungen (und von Extremwertverteilugen)
  • Regulär varierende Funktionen (Kapitel 4)
    (Hilfsmittel für die Bestimmung von Max-Anziehungsbereichen)
    • langsam variierende und regulär variierende Funktionen
    • Satz von Karamata (Darstellung von variierenden Funktionen)
    • Abschätzungen (asymptotisches Verhalten, Satz von Potter)
  • Max-Anziehungsbereiche (Kapitel 5)
    • Bestimmung des Max-Anziehungsbereich der Fréchet-Verteilung (mit Beweis)
    • Max-Anziehungsbereich der Weibull-Verteilung (ohne Beweis)
    • Max-Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung (ohne Beweis)
    • von Mises-Bedingungen (einfach zu überpüfende, hinreichende Bedingungen für den Max-Anziehungsbereich)
Teil 2: Statistik der Extremwertverteilungen
  • Blockmaxima, Peaks-over-Threshold - Methoden (Kapitel 6)
    (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
    • motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein Damm gebaut werden, damit eine Überflutung unwahrscheinlich ist?
    • GEV-Verteilungen
    • Blockmaxima, Schätzung der GEV-Parameter mit der Maximum-Likelihood-Methode
    • PP-Plots, QQ-Plots
    • Peaks-over-Threshold-Methode
  • Ordnungsstatistiken (Kapitel 7)
    (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
    • motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein Damm gebaut werden, damit eine Überflutung unwahrscheinlich ist?
    • Verteilung von Ordnungsstatistiken, Markov-Eigenschaft
    • Verteilungskonvergenz von extremen Ordnungsstatistken
    • Darstellung von Ordnungsstatistiken
    • Beispiele: Ordnungsstatistiken der Exponential- und Uniformverteilung
    • Gumbel-Überschreitungsmethode
  • Rekorde (Kapitel 8)
    (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
    • Satz von Rényi
    • Verteilung der Anzahl der Rekorde
    • Verteilung der Rekordzeiten
    • Zentraler Grenzwertsatz für die Anzahl der Rekorde und für Rekordzeiten
  • Poisson-Punktprozesse (Kapitel 9)
    (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
    • Definition von Poisson-Punktprozessen
    • Superpositionssatz
    • Abbildungssatz
  • Konvergenz von Punkprozessen (Kapitel 10)
    (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
    • Definition von vager Konvergenz
    • Konvergenz der extremen Ordnungsstatistiken
    • Konvergenz der Rekordzeiten
    • Extremwertprozesse

Gebiet:
Angewandte Mathematik, Stochastik

Voraussetzungen:
Analysis 1, Lineare Algebra 1
Das Seminar richtet sich an fortgeschrittene Studierende im Bachelor- und Masterprogramm, die in der Statistik sich spezialisieren möchten und schon mit typischen Fragestellungen der Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vertraut sind. Kenntnis der Vorlesungen Wahrscheinlichkeitstheorie 1 und Statistik 1 ist hilfreich, wird aber nicht vorausgesetzt.

Literatur:
[1] Zakhar Kabluchko (Institut für Mathematische Statistik, Westfälische Wilhelms–Universität Münster) Skript zur Vorlesung Extremwerttheorie