Seminar (WS 2024/25)

Extremwerttheorie

Vorbesprechung:

Donnerstag 17. Oktober 2024, 11:15 Uhr,
MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR 6

Zeit und Ort des Seminars:

Donnerstag 11:15-12:45 Uhr, MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR 6

Bitte melden Sie sich für das Seminar mittels MÜSLI an.

Kontakt:

Jan JOHANNES <johannes[at]math.uni-heidelberg.de>

Maximilian Siebel <siebel[at]math.uni-heidelberg.de>

Anfragen bitte entweder direkt per eMail.

Sprache:

Das Seminar wird in Deutsch angeboten.

Es ist aber möglich einzelne Vorträge auf Englisch zu halten.

Inhalt des Seminars:

Das Seminar soll einen Einblick in die Extremwerttheorie geben. Als Literaturvorlage verwenden wir das Skript zur Vorlesung Extremwerttheorie von Zakhar Kabluchko (Universität Münster) [1].
Es wird erwartet, dass jede/r Teilnehmende einen 60 Minütigen Vortrag hält. Ein Handout mit den wichtigsten Definitionen, Ergebnissen und kurzen Beweisideen sollte für die anderen Seminarteilnehmenden vorbereitet werden.

Seminarprogramm:

Teil 1: Extremwertverteilungen und Max-Anziehungsbereiche

• Einführung: Was ist Extremwerttheorie? (Kapitel 1)
  • die Verteilung des Maximums einer Zufallsvariablen
  • die drei möglichen Extremwertverteilungen: Gumbel, Fréchet, Weibull
  • der Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko
  • max-Anziehungsbereiche
• Cauchy-Funktionalgleichung (Kapitel 2)
  (Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Fisher-Tippett-Gnedenko)
  • Definition von additiven und multiplikativen Funktionen
  • Satz von Cauchy (Charakterisierung stetiger additiver Funktionen)
  • Satz von Steinhaus, Satz von Ostrowski (Charakterisierung messbarer additive Funktionen)
  • Hamel-Funktionen (Notwendigkeit der Messbarkeitsbedingung)
• Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko (Kapitel 3)
  • "convergence-of-types"-Theorem (Satz von Chintschin)
  • max-stabile Verteilungen
  • Äquivalenz von Extremwertverteilungen und max-stabilen Verteilungen.
  • Charakterisierung von max-stabilen Verteilungen (und von Extremwertverteilugen)
• Regulär varierende Funktionen (Kapitel 4)
  (Hilfsmittel für die Bestimmung von Max-Anziehungsbereichen)
  • langsam variierende und regulär variierende Funktionen
  • Satz von Karamata (Darstellung von variierenden Funktionen)
  • Abschätzungen (asymptotisches Verhalten, Satz von Potter)
• Max-Anziehungsbereiche (Kapitel 5)
  • Bestimmung des Max-Anziehungsbereich der Fréchet-Verteilung (mit Beweis)
  • Max-Anziehungsbereich der Weibull-Verteilung (ohne Beweis)
  • Max-Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung (ohne Beweis)
  • von Mises-Bedingungen (einfach zu überpüfende, hinreichende Bedingungen für den Max-Anziehungsbereich)

Teil 2: Statistik der Extremwertverteilungen

• Blockmaxima, Peaks-over-Threshold - Methoden (Kapitel 6)
  (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
  • motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein Damm gebaut werden, damit eine Überflutung unwahrscheinlich ist?
  • GEV-Verteilungen
  • Blockmaxima, Schätzung der GEV-Parameter mit der Maximum-Likelihood-Methode
  • PP-Plots, QQ-Plots
  • Peaks-over-Threshold-Methode
• Ordnungsstatistiken (Kapitel 7)
  (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
  • motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein Damm gebaut werden, damit eine Überflutung unwahrscheinlich ist?
  • Verteilung von Ordnungsstatistiken, Markov-Eigenschaft
  • Verteilungskonvergenz von extremen Ordnungsstatistken
  • Darstellung von Ordnungsstatistiken
  • Beispiele: Ordnungsstatistiken der Exponential- und Uniformverteilung
  • Gumbel-Überschreitungsmethode
• Rekorde (Kapitel 8)
  (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
  • Satz von Rényi
  • Verteilung der Anzahl der Rekorde
  • Verteilung der Rekordzeiten
  • Zentraler Grenzwertsatz für die Anzahl der Rekorde und für Rekordzeiten
• Poisson-Punktprozesse (Kapitel 9)
  (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
  • Definition von Poisson-Punktprozessen
  • Superpositionssatz
  • Abbildungssatz
• Konvergenz von Punkprozessen (Kapitel 10)
  (Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
  • Definition von vager Konvergenz
  • Konvergenz der extremen Ordnungsstatistiken
  • Konvergenz der Rekordzeiten
  • Extremwertprozesse

Gebiet:

Angewandte Mathematik, Stochastik

Voraussetzungen:

Analysis 1, Lineare Algebra 1

Das Seminar richtet sich an fortgeschrittene Studierende im Bachelor- und Masterprogramm, die in der Statistik sich spezialisieren möchten und schon mit typischen Fragestellungen der Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vertraut sind. Kenntnis der Vorlesungen Wahrscheinlichkeitstheorie 1 und Statistik 1 ist hilfreich, wird aber nicht vorausgesetzt.

Literatur:

[1] Zakhar Kabluchko (Institut für Mathematische Statistik, Westfälische Wilhelms–Universität Münster) Skript zur Vorlesung Extremwerttheorie