Seminar (WS 2024/25)
Extremwerttheorie
- Vorbesprechung:
- Donnerstag 17. Oktober 2024, 11:15 Uhr,
MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR ?? - Zeit und Ort des Seminars:
- Donnerstag 11:15-12:45 Uhr, MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR ??
- Bitte melden Sie sich für das Seminar mittels MÜSLI an.
- Kontakt:
- Jan JOHANNES <johannes[at]math.uni-heidelberg.de>
- Maximilian Siebel <siebel[at]math.uni-heidelberg.de>
- Anfragen bitte entweder direkt per eMail.
- Sprache:
- Das Seminar wird in Deutsch angeboten.
- Es ist aber möglich einzelne Vorträge auf Englisch zu halten.
- Inhalt des Seminars:
- Das Seminar soll einen Einblick in die Extremwerttheorie
geben. Als Literaturvorlage verwenden wir
das Skript
zur Vorlesung Extremwerttheorie von Zakhar Kabluchko
(Universität Münster) [1].
Es wird erwartet, dass jede/r Teilnehmende einen 60 Minütigen Vortrag hält. Ein Handout mit den wichtigsten Definitionen, Ergebnissen und kurzen Beweisideen sollte für die anderen Seminarteilnehmenden vorbereitet werden. - Seminarprogramm:
- Teil 1: Extremwertverteilungen und Max-Anziehungsbereiche
- Einführung: Was ist Extremwerttheorie? (Kapitel 1)
- die Verteilung des Maximums einer Zufallsvariablen
- die drei möglichen Extremwertverteilungen: Gumbel, Fréchet, Weibull
- der Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko
- max-Anziehungsbereiche
- Cauchy-Funktionalgleichung (Kapitel 2)
(Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Fisher-Tippett-Gnedenko)- Definition von additiven und multiplikativen Funktionen
- Satz von Cauchy (Charakterisierung stetiger additiver Funktionen)
- Satz von Steinhaus, Satz von Ostrowski (Charakterisierung messbarer additive Funktionen)
- Hamel-Funktionen (Notwendigkeit der Messbarkeitsbedingung)
- Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko (Kapitel 3)
- "convergence-of-types"-Theorem (Satz von Chintschin)
- max-stabile Verteilungen
- Äquivalenz von Extremwertverteilungen und max-stabilen Verteilungen.
- Charakterisierung von max-stabilen Verteilungen (und von Extremwertverteilugen)
- Regulär varierende Funktionen (Kapitel 4)
(Hilfsmittel für die Bestimmung von Max-Anziehungsbereichen)- langsam variierende und regulär variierende Funktionen
- Satz von Karamata (Darstellung von variierenden Funktionen)
- Abschätzungen (asymptotisches Verhalten, Satz von Potter)
- Max-Anziehungsbereiche (Kapitel 5)
- Bestimmung des Max-Anziehungsbereich der Fréchet-Verteilung (mit Beweis)
- Max-Anziehungsbereich der Weibull-Verteilung (ohne Beweis)
- Max-Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung (ohne Beweis)
- von Mises-Bedingungen (einfach zu überpüfende, hinreichende Bedingungen für den Max-Anziehungsbereich)
- Einführung: Was ist Extremwerttheorie? (Kapitel 1)
- Teil 2: Statistik der Extremwertverteilungen
- Blockmaxima, Peaks-over-Threshold - Methoden (Kapitel 6)
(Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)- motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein Damm gebaut werden, damit eine Überflutung unwahrscheinlich ist?
- GEV-Verteilungen
- Blockmaxima, Schätzung der GEV-Parameter mit der Maximum-Likelihood-Methode
- PP-Plots, QQ-Plots
- Peaks-over-Threshold-Methode
- Ordnungsstatistiken (Kapitel 7)
(Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)- motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein Damm gebaut werden, damit eine Überflutung unwahrscheinlich ist?
- Verteilung von Ordnungsstatistiken, Markov-Eigenschaft
- Verteilungskonvergenz von extremen Ordnungsstatistken
- Darstellung von Ordnungsstatistiken
- Beispiele: Ordnungsstatistiken der Exponential- und Uniformverteilung
- Gumbel-Überschreitungsmethode
- Rekorde (Kapitel 8)
(Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)- Satz von Rényi
- Verteilung der Anzahl der Rekorde
- Verteilung der Rekordzeiten
- Zentraler Grenzwertsatz für die Anzahl der Rekorde und für Rekordzeiten
- Poisson-Punktprozesse (Kapitel 9)
(Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)- Definition von Poisson-Punktprozessen
- Superpositionssatz
- Abbildungssatz
- Konvergenz von Punkprozessen (Kapitel 10)
(Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)- Definition von vager Konvergenz
- Konvergenz der extremen Ordnungsstatistiken
- Konvergenz der Rekordzeiten
- Extremwertprozesse
- Blockmaxima, Peaks-over-Threshold - Methoden (Kapitel 6)
- Gebiet:
- Angewandte Mathematik, Stochastik
- Voraussetzungen:
- Analysis 1, Lineare Algebra 1
- Das Seminar richtet sich an fortgeschrittene Studierende im Bachelor- und Masterprogramm, die in der Statistik sich spezialisieren möchten und schon mit typischen Fragestellungen der Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vertraut sind. Kenntnis der Vorlesungen Wahrscheinlichkeitstheorie 1 und Statistik 1 ist hilfreich, wird aber nicht vorausgesetzt.
- Literatur:
- [1] Zakhar Kabluchko (Institut für Mathematische Statistik, Westfälische Wilhelms–Universität Münster) Skript zur Vorlesung Extremwerttheorie