- Abschlussarbeit:
- Master in Mathematik
- Autor:
- Charlotte Maschmann
- Titel:
- Interarrival density estimation for renewal processes
- Betreuer:
- Jan JOHANNES
- Abstrakt:
- In dieser Arbeit befassen wir uns mit der nichtparametrischen Schätzung der Wahrscheinlichkeitsdichte der Zwischenankunftszeiten eines Erneuerungsprozesses R. Unser Ansatz verwendet Projektionsschätzer, die wir für drei verschiedene Fälle und entsprechende Beobachtungsvariablen detailliert beschreiben. Im ersten Fall gehen wir von einer kontinuierlichen Beobachtung des Erneuerungsprozesses R aus, was uns erlaubt, die wahren Zwischenankunftszeiten zur Definition eines Schätzers zu verwenden. In den anderen Fällen betrachten wir einen diskreten Rahmen, in dem die Information über R nur mit einer Samplingrate gegeben ist. Basierend auf den unvollständigen Informationen konstruieren wir Schätzer für die Zwischenankunftszeiten, die die Grundlage für die nachfolgenden Schätzer bilden. Die diskrete Beobachtung führt zusätzliche Variablen in die Gleichung ein, die behandelt werden müssen, um genaue Projektionsschätzer zu erhalten. Ein einfacher Ansatz besteht darin, den aus den zusätzlichen Variablen resultierenden Fehlerterm zu begrenzen, was wir für den zweiten Schätzer tun. Wir erhalten einen Projektionsschätzer, der das Verhalten des ersten Schätzers widerspiegelt, wenn die Samplingrate sich 0 nähert. Im dritten Fall betrachten wir einen Dekonvolutionsrahmen, der die Dichte der neuen Variablen ber+cksichtigt, die sich aus dem diskreten Modell ergeben. Unter zusätzlichen Annahmen leiten wir obere Schranken für den mittleren integrierten quadratischen Fehler jedes Schätzers ab, die es uns ermöglichen, Konvergenzraten auf Sobolev-Laguerre-Räumen zu beweisen, die mit optimalen Minimax-Raten vergleichbar sind. In allen Fällen wird ein datengetriebenes Verfahren zur Auswahl des Dimensionsparameters des Projektionsschätzers vorgestellt, das einen automatischen Bias-Varianz-Kompromiss erreicht. Bis zu einem logarithmischen Faktor entsprechen die mit diesem Ansatz erreichbaren Raten den Raten für die optimale Dimension. Wir demonstrieren das Ergebnis des theoretischen Teils mit einer umfassenden Simulationsstudie.
- Literatur:
- F. Comte und C. Duval. Statistical inference for renewal processes, Scandinavian Journal of Statistics, 45(1):164-193, 2018.
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