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Jan JOHANNES 13 Dez 2019 Arbeiten

Abschlussarbeit:: Master in Mathematik

Autor:: Konstantin Klumpp

Titel:: Minimax-Schätzung in Stochastischen Mehrebenenblockmodellen

Betreuer:: Jan JOHANNES

Abstrakt:: Diese Masterarbeit behandelt die Schätzung des Arrays der Verbindungswahrscheinlichkeiten in einem Modell für inhomogene zufällige Multiplex-Netzwerke. Wir stellen Verallgemeinerungen einiger bekannter, das analoge Schätzproblem im Inhomogeneous Random Graph Model betreffender Ergebnisse auf. Erstens werden die von Gao et al. (2016) und Klopp et al. (2017) gezeigten oberen Schranken für die mittleren quadratischen Fehler zweier Kleinste-Quadrate-Schätzer aus dem Stochastic Block Model auf die Situation mehrerer Ebenen übertragen. Dazu wird das Stochastic Block Model einer Ebene durch zwei Verallgemeinerungen für mehrere Ebenen ersetzt, das Strata Multilayer Stochastic Block Model und das von uns benannte Inhomogeneous Strata Multilayer Stochastic Block Model. Die gefundenen oberen Schranken werden als Orakelungleichungen formuliert, um die Betrachtung von wahren Parametern ohne Blockstruktur zu ermöglichen. Zweitens werden mit ähnlichen Konstruktionen wie in Gao et al. (2015) untere Schranken für das Minimax Risiko in den beiden betrachteten Mehrebenenblockmodellen gezeigt. Diese zeigen, dass die Kleinste-Quadrate-Schätzer in beiden Modellen bis auf eine multiplikative Konstante minimax sind. In all den genannten Ergebnissen beziehen wir Parameter mit ein, die die Sparsity der beobachteten Netzwerke und die Wahrscheinlichkeit für fehlende Beobachtungen bestimmen. Darüber hinaus führen wir ein allgemeines Blockmodell ein, das nicht nur beide von uns betrachteten Mehrebenenblockmodelle umfasst, sondern auch andere Modelle, die auf Blockstruktur beruhen. Dieses Modell vereinfacht unsere Beweise und könnte sich auch in zukünftiger Forschung als nützlich erweisen.
Literatur:: C. Gao, Y. Lu und H.H. Zhou (2015). Rate-optimal graphon estimation. The Annals of Statistics, 43(6):2624–2652.; O. Klopp, A.B. Tsybakov und N. Verzelen (2017). Oracle inequalities for network models and sparse graphon estimation. The Annals of Statistics, 45(1):316–354.