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Zuletzt geändert am
06 Feb 2019 von JJ
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Proseminar (SS 2019)

Markovketten

Vorbesprechung:
Montag 15. April 2019, 14:15 Uhr,
MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR 7

Zeit und Ort des Seminars:
Montag 14:15-15:45 Uhr, MΛTHEMΛTIKON, INF 205, 4. Etage, SR 7

Kontakt:
Jan JOHANNES <johannes[at]math.uni-heidelberg.de>
Anfragen bitte entweder direkt per eMail oder mittels des Kontaktformulars.

Sprache:
Das Proseminar wird in Deutsch angeboten.
Es ist aber möglich einzelne Vorträge auf Englisch zu halten.

Gebiet:
Angewandte Mathematik, Stochastik
Bitte melden Sie sich für das Seminar mittels MÜSLI an.

Inhalt des Proseminars:
Das Proseminar soll eine umfassende Einführung in die Theorie der Markov-Ketten bieten. Dabei soll, nach einer anschaulichen Motivation, eine Klassifikation dieser stochastischen Prozesse vorgenommen werden. Diese widerum ist notwendig, um das Langzeitverhalten zu untersuchen und die Konvergenz gegen einen Gleichgewichtszustand zu beschreiben. Jeder Teilnehmer arbeitet ein Thema aus, das sich an einführender Literatur orientiert und hält einen 60-minütigen Vortrag darüber. Die Vorträge werden aufeinander aufbauen.

Voraussetzungen:
Analysis 1, Lineare Algebra 1
Grundkenntnisse in Stochastik sind hilfreich

Literatur:
Chung, Markov Chains with Stationary Transistion Probabilities. Springer-Verlag, 1967. (fortgeschritten)
Freedman, Markov Chains. Springer-Verlag, 1983. (fortgeschritten)
Fritz, Huppert, und Willems, Stochastische Matrizen. Springer-Verlag, 1979.
Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg-Verlag, achte Auflage, 2005. (auch online verfügbar)
Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2012. (auch online verfügbar)
Medhi, Stochastic Models in Queueing Theorie. AP Elsevier, 2003.
Nelson, Probability, Stochastic Processes and Queueing Theorie. Springer, 1995.
Seneta, Non-negative Matrices and Markov Chains. Springer-Verlag, 1981.

Seminarprogramm:

  1. Vortrag: (Wdh. bedingte W’keit / Satz von Ionescu-Tulcea)
    Im erten Vortrag soll eine Wiederholung von bedingter Wahrscheinlichkeit gegeben werden, die essentiell sein wird für die weitere Betrachtung stochastischer Prozesse, die in der Lage sind Abhängigkeiten zu beschreiben. Nachdem die grundlegenden Definitionen eingeführt wurden, soll anhand des Beispiels des Polya’schen Urnenmodells motiviert werden, wie Prozesse aus der Vorgabe bedingter Wahrscheinlichkeiten konstruiert werden können. Dies soll anschließend mit dem Satz von Ionescu-Tulcea verallgemeinert werden. Dieser Satz stellt einen Vorläufer des Kolmogoroff’schen Konsistenzsatzes dar und gewährleistet die eindeutige Existenz eines Maßes, das Pfade generiert, die die vorgegebene Abhängigkeitsstruktur inne haben.
    Literatur: Krengel1 Kapitel 2, Klenke2 Kapitel 8.1+14.3

  2. Vortrag: (Einführung in die Markov Ketten)
    In diesem Vortrag soll der Begriff einer Markov Kette gebildet werden und an Beispielen und Gegenbeispielen veranschaulicht werden. Nachdem die Charakterisierung einer Markov Kette über ie Markov Eigenschaft gegeben wurde und einige Eigenschaften festgehalten wurden, soll der Begriffder (homogenen) stochastischen Matrix motiviert werden und einige Eigenschaften dieser hervorgehoben werden.
    Literatur: Krengel1 Kapitel 15.1-15.3, Klenke2 Kapitel 17.1+17.2

  3. Vortrag: (Langfristiges Verhalten von Markov Ketten I)
    Die nächsten Vorträge werden sich damit beschäftigen, wie sich Makov Ketten aus stochastischer Sicht verhalten, wenn sie längere Zeit laufen und auf einen gleichgewichtigen Zustand zusteuern. Notwendig für diese Untersuchung sind Begriffe wie Rekurrenz, Irreduzibelität und Aperiodizität, die eine Klassifzierung des zugrunde liegenden Zustandsraumes liefern. Nachdem diese Begriffe de􏰃niert wurden, werden ihre Eigenschaften festgehalten und anhand konkreter Beispielen verinnerlicht.
    Literatur: Krengel1 Kapitel 16, Klenke2 Kapitel 17.4+17.5

  4. Vortrag: (Langfristiges Verhalten von Markov Ketten II)
    Die zuvor erarbeiteten Begriffe sollen nun um Definitionen wie Stationarität, invariante Maße/Verteilungen und einer feineren Klassiffzierung von Rekurrenz ergänzt werden. Der Begriff der invarianten Verteilung soll über Absorptionswahrscheinlichkeiten motiviert und im Anschluss die Zusammenhänge zwischen invarianten Verteilungen und Stationarität der vorliegenden Markov Kette geklärt werden. Zum Schluss soll eine konstruktive Existenz eines invarianten Maßes bzw. einer invarianten Verteilung gegeben werden.
    Literatur: Krengel1 Kapitel 15.4+15.5, Klenke2 Kapitel 17.6

  5. Vortrag: (Markov Ketten au endlichen Zustandsräumen und lineare Algebra)
    Der Siegeszug von Markov Ketten beruht nicht zuletzt darauf, dass ihre Untersuchung von Hilfsmitteln aus der linearen Algebra gestützt werden. Nachdem im vorangegangenen Vortrag die Brücke zur linaren Algebra geschlagen wurde, soll diese Verbindung nun näher untersucht werden. Es soll an Eigentheorie erinnert und der Satz von Perron-Frobenius im Zusammenhang mit Markov Ketten formuliert werden. Anschließend soll gezeigt werden, wie dieser Satz dazu benutzt werden kann die Konvergenz von Markov Ketten auf endlichen Zustandsräumen zu untersuchen, was dem darauffolgendem Vortrag als ein Spezialfall vorgreift. Zuletzt wird mithilfe des Perron-Frobenius Theorems die Konvergenzgechwindigkeit untersucht.
    Literatur: Fritz et al.3, Seneta4

  6. Vortrag: (Langfristiges Verhalten von Markov Ketten III)
    Nachem im vorangegangenem Vortrag die Konvergenz von Markov Ketten auf endlichen Zustandsräumen untersucht wurde, soll dies nun auf abzählbare Zustandsräume verallgemeinert werden. Da Methoden der linearen Algebra dazu nicht mehr ausreichen, wird eine probabilistische Methodik entwickelt, die dies Erlaubt. Diese ist unter dem Namen \textit{Kopplung} (engl. coupling) bekannt. Nach den notwendigen Definitionen soll als Höhepunkt dieses Vortrags der Konvergenzsatz für Markov Ketten gezeigt werden.
    Literatur: Klenke2 Kapitlel 18

  7. Vortrag: (Erneuerungstheorie)
    Erneuerungstheorie stellt eine weitere wichtige Methode dar die Konvergenz von Markov Ketten zu untersuchen. Es sollen die grundlegenden Definitionen und der Erneuerungssatz gegeben werden und im Anschluss auf Übergangswahrscheinlichkeiten angewandt werden, was in einem weiteren Beweis des Konvergenzsatz für Markovketten endet. Ferner soll ein physikalisches Beispiel, dasEhrenfest Modell, das Verständnis stärken.
    Literatur: Krengel1 Kapitel 17

  8. Vortrag: (Poissonprozess)
    Nachdem die Theorie der zeit-diskreten Markov Ketten verstanden wurde, soll sich nun der Theorie der zeit-stetigen Markov Prozesse zugewandt werden. Auch hier beschränken wir uns auf einen höchstens abzählbaren Zustandsraum. Nachdem die wesentlichen Unterschiede und Gemeinsamkeiten zur Theorie der zeit-diskreten Markov Ketten herausgearbeitet wurde, sollen speziellere Markov Prozesse untersucht werden. Dies sind sogenannte Poissonprozesse, die zahlreiche Anwendungen finden.
    Literatur: Krengel1 Kapitel 18, Nelson5 244-, Medhi6 Kapitel 1.5

  9. Vortrag: (Zeit-diskrete Warteschlangenmodelle)
    Eine wichtige Anwendung der Poissonprozesse findet sich in der Theorie der Warteschlangen. Dort werden sie benutzt um Ankunfts- und Bedienprozesse der Kunden zu modellieren. Wir werden uns hier auf das Grundmodell mit exponentiell verteilten Zwischenankunfts- und Bedienzeiten beschränken, das bekannt ist als M/M/1. Es ist von besonderem Interesse, da es exakt lösbar ist. Das bedeutet, dass z.B. eine explizite Formel für die Verteilung der Länge der Warteschlange gegeben werden kann, falls sich ein Gleichgewicht einstellt.
    Literatur: Nelson5, Medhi6

  1. Krengel, U. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg-Verlag, achte Auflage, 2005. (auch online verfügbar)  2 3 4 5 6

  2. Klenke, A. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2012. (auch online verfügbar)  2 3 4 5

  3. Fritz, F.J., Huppert, B. und Willems, W. Stochastische Matrizen. Springer- Verlag, 1979. 

  4. Seneta, E. Non-negative Matrices and Markov Chains. Springer-Verlag, 1981. 

  5. Nelson, R. Probability, Stochastic Processes and Queueing Theorie. Springer, 1995.  2

  6. Medhi, J. Stochastic Models in Queueing Theorie. AP Elsevier, 2003.  2


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