Universität Heidelberg | AG SIP | Arbeiten

Jan JOHANNES 15 Sep 2016 Arbeiten

Abschlussarbeit:: Master in Mathematik

Autor:: Stephan Bischofberger

Titel:: Posterior contraction for Gaussian inverse problems in Hilbert scales

Betreuer:: Jan JOHANNES

Abstrakt:: Wir betrachten mild schlecht gestellte inverse Probleme in separablen Hilberträumen mit Gauß’schem Fehler und versehen mit Gauß’scher a-priori Verteilung. Unter der frequentistischen Annahme eines wahren Parameters, assoziiert mit dem Daten-erzeugenden Prozess, wird in Hilbert-Skalen gezeigt, dass sich die a-posteriori Verteilung um diesen Parameter konzentriert. Insbesondere verallgemeinert dies die Ergebnisse im Gauß’schen Folgenmodell von Knapik, van der Vaart und van Zanten (2011). Die Darstellung des inversen Problems als Folgenmodell beruht im Wesentlichen auf der Kenntnis der Spektralzerlegung des zu Grunde liegenden linearen Operators. Insbesondere werden in dieser Darstellung Regularitätsbedingungen an die Lösung des inversen Problems bzgl. der Eigenbasis des Operators formuliert. Die von uns vorgestellte Verallgemeinerung erlaubt es, die Regularitätsbedingungen an die Lösung von der Spektraldarstellung des Operators zu trennen. Unter zusätzlichen, schwachen Annahmen zeigen wir, dass die Konzentrationsraten in Hilbert-Skalen und im Gauß’schen Folgenmodell übereinstimmen.
Außerdem untersuchen wir das Konzentrationsverhalten der a-posteriori Verteilung eines linearen Funktionals angewandt auf den Parameter. Es wird weiterhin gezeigt, dass ähnliche Ergebnisse ebenso für eine Gauß’sche ”sieve“-a-priori Verteilung gelten. Wir geben für die vorgestellten a-priori Verteilungen hinreichende Bedingungen an, unter denen eine optimale Wahl der a-priori Parameter zu einer Konzentration der a-posterior Verteilung mit nichtparametrischer minimax-optimaler Rate führt.
Die asymptotischen Ergebnisse werden anhand einer Simulationsstudie für den Volterra-Operator illustriert.
Literatur:: B. T. Knapik, A. W. van der Vaart und J. H. van Zanten. Bayesian inverse problems with Gaussian priors. The Annals of Statistics, 39(5):2626-2657, 2011.