- Abschlussarbeit:
- Bachelor in Mathematik
- Autor:
- Konstantin Klumpp
- Titel:
- Adaptive posterior concentration rates under sup norm loss
- Betreuer:
- Jan JOHANNES
- Abstrakt:
- Der Inhalt dieser Bachelorarbeit beruht auf den Resultaten aus Hoffmann et al. (2015). Nach einer kurzen Einführung in die asymptotische Theorie in der nichtparametrischen Bayes’schen Statistik und in das Gauß’sche Folgenmodell zeigen wir eine untere Schranke für den Erwartungswert der A-posteriori-Masse auf Komplementen von Umgebungen des “wahren” Parameters. Die Schranke basiert, wie auch die anderen Sätze aus Hoffmann et al. (2015), auf einer genauen Beschreibung des Zusammenspiels der Verlustfunktion l und einer Prämetrik d auf dem Parameterraum, die eine Abschätzung für das Verhältnis der Likelihoods verschiedener Parameter liefert. Nachdem geklärt ist, dass die nötigen Voraussetzungen im Gauß’schen Folgenmodell erfüllt sind, konstruieren wir zwei verschiedene A-priori-Verteilungen in diesem Modell, mit der Supremumsnorm als Verlust, die die untere Schranke bis auf eine Konstante im Exponent erreichen. Eine solche optimale Konstruktion ist in diesem Modell vor Hoffmann et al. (2015), nach eigenen Angaben, niemandem gelungen. Bei einer dieser A-priori-Verteilungen handelt es sich um eine so genannte “sieve prior”, die auf einer endlichen Teilmenge des Parameterraums konzentriert ist. Für solche A-priori-Verteilungen wird auch unter etwas allgemeineren Bedingungen eine obere Schranke hergeleitet, die eine ähnliche Form wie obige untere Schranke annimmt.
Literatur:- M. Hoffmann, J. Rousseau, und J. Schmidt-Hieber. On adaptive posterior concentration rates. The Annals of Statistics, 43(5):2259–2295, 2015
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