Anfragen bitte
entweder direkt per eMail oder mittels des
Kontaktformulars.
Sprache:
Das Proseminar wird in Deutsch angeboten.
Gebiet:
Angewandte Mathematik, Stochastik
Voraussetzungen:
Das Proseminar richtet sich an Studierende im Bachelorprogramm, die erste Einblicke in die
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik gewinnen möchten.
Die Kenntnis der Vorlesung Einführung in die
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist
hilfreich, kann aber auch parallel durch den Besuch der
Vorlesung gewonnen werden.
Beschreibung des Proseminars:
"Es war augenscheinlich Karl Pearson, der den Begriff
random walk (deutsch: Irrfahrt, französisch: promenade au hazard)
einführte, als er den Lesern der Zeitschrift Nature im Jahr 1905 (frei
übersetzt) die folgende Frage stellte: ”Kann mir irgendjemand eine
Literaturstelle nennen, in der ich eine Lösung zu folgendem Problem
finde oder mir ggf. eine originäre Lösung zukommen lassen? Für Hilfe
in dieser Angelegenheit wäre ich sehr dankbar. Ein Mann startet von
einem Punkt O aus und geht l Yards geradeaus. Dann dreht er sich um
einen rein zufälligen Winkel und geht wieder l Yards geradeaus. Er
wiederholt diesen Vorgang n mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass nach n solcher Wegstrecken sein Abstand zum Ausgangspunkt O
zwischen r und r + δr liegt?“ Pearsons Interesse an diesem Problem
entstammte dem Wunsch, ein Modell für zufällige Migrationen
biologischer Spezies zu finden, und es war wohl überraschend, als
bereits eine Woche später Lord Rayleigh eine Antwort auf Pearsons
Problem gab, indem er die Irrfahrt begrifflich gleichwertig mit der
Uberlagerung von n zufällig phasenverschobenen Schwingungen gleicher
Amplitude und gleicher Frequenz erkannte. In seinem Dank an Rayleigh
(wiederum nur eine Woche später!) resümierte Pearson, wiederum frei
übersetzt: ”Wir können aus der Lösung von Lord Rayleigh die folgende
Lehre ziehen: In offenem Gelände ist der wahrscheinlichste Ort, an dem
man einen Betrunkenen antrifft, der überhaupt noch auf seinen Beinen
stehen kann, irgendwo in der Nähe seines Ausgangspunktes.“" (Auszug
aus [1]) Das Proseminar soll einen Einblick
in die Theorie der Irrfahrten geben. Als Literaturvorlage
verwenden wir das
Buch
"Irrfahrten - Faszination der Random Walks" von Norbert
Henze [1]. Es wird erwartet, dass jede:r
Teilnehmende einen 45 Minütigen Vortrag hält. Die Vorträge
sollten an der Tafel gehalten werden. Ein Handout mit den
wichtigsten Definitionen, Ergebnissen und kurzen Beweisideen sollte
für die anderen Proseminarteilnehmenden vorbereitet werden.
Vortragsthemen:
Die einfache symmetrische Irrfahrt auf den ganzen Zahlen
Grundbegriffe und das Spiegelungsprinzip (Kapitel 2.1, 1 Vortrag )
Das Hauptlemma (Kapitel 2.2, 1 Vortrag )
Der Zeitpunkt der letzten Nullstelle (Kapitel 2.3, 2 Vorträge )
Die Anzahl der Nulstellen (Kapitel 2.4, 2 Vorträge )
Erstwiederkehrzeit und Rekurrenz (Kapitel 2.5, 1 Vortrag )
Verweilzeiten (Kapitel 2.6, 1 Vortrag )
Maximum und Minimum (Kapitel 2.7, 2 Vorträge )
Anzahl und Lage von Maximalstellen (Kapitel 2.8, 2 Vorträge )
Leiterzeitpunkte und Epochen (Kapitel 2.9, 2 Vorträge )
Schnittpunkte von Irrfahrten (Kapitel 2.10, 2 Vorträge )
Vorzeichenwechsel (Kapitel 2.11, 2 Vorträge )
Das Betragsmaximum (Kapitel 2.12, 2 Vorträge )
Test auf Symmetrie (Kapitel 2.13, 2 Vorträge )
Dualität: Neue Einsichten (Kapitel 2.14, 1 Vortrag )
Literatur:
[1]
"Irrfahrten - Faszination der Random Walks" Norbert Henze, Springer Spektrum Link zur PDF
