Bitte melden Sie sich
über MÜSLI
für das Seminar und die Vorbesprechung an. Die Einladung zur
Videokonferenz wird gegebenenfalls
über MÜSLI
kommuniziert.
Termine:
Das Seminar findet voraussichtlich online
als Blockseminar Anfang/Mitte Januar statt.
Mitte/Ende Dezember: In einer ersten Vorbesprechung
gehen wir zusammen die grobe Struktur des Vortrags durch und entscheiden, welche
Beweise/Beweisteile ausführlich vorgestellt werden.
Anfang/Mitte Januar: Bitte schickt uns eine (vorläufige)
Version eures Handouts zu. In der Woche vor dem Vortrag können
wir in einer zweiten Besprechung letzte Fragen klären und
überprüfen, ob die gewählte Vortragsmethode funktioniert
(Screensharing etc.).
Anfragen bitte
entweder direkt per eMail oder mittels des
Kontaktformulars.
Sprache:
Das Seminar wird in Deutsch angeboten.
Gebiet:
Angewandte Mathematik, Stochastik
Beschreibung des Seminars:
"Es war augenscheinlich Karl Pearson, der den Begriff random walk (deutsch: Irrfahrt, französisch: promenade au hazard) einführte, als er den Lesern der Zeitschrift Nature im Jahr 1905 (frei übersetzt) die folgende Frage stellte:
”Kann mir irgendjemand eine Literaturstelle nennen, in der ich eine Lösung zu folgendem Problem finde oder mir ggf. eine originäre Lösung zukommen lassen? Für Hilfe in dieser Angelegenheit wäre ich sehr dankbar.
Ein Mann startet von einem Punkt O aus und geht l Yards geradeaus. Dann dreht er sich um einen rein zufälligen Winkel und geht wieder l Yards geradeaus. Er wiederholt diesen Vorgang n mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach n solcher Wegstrecken sein Abstand zum Ausgangspunkt O zwischen r und r + δr liegt?“
Pearsons Interesse an diesem Problem entstammte dem Wunsch, ein Modell für zufällige Migrationen biologischer Spezies zu finden, und es war wohl überraschend, als bereits eine Woche später Lord Rayleigh eine Antwort auf Pearsons Problem
gab, indem er die Irrfahrt begrifflich gleichwertig mit der Uberlagerung von n zufällig phasenverschobenen Schwingungen gleicher Amplitude und gleicher Frequenz erkannte. In seinem Dank an Rayleigh (wiederum nur eine Woche später!) resümierte Pearson, wiederum frei übersetzt: ”Wir können aus der Lösung von Lord Rayleigh die folgende Lehre ziehen: In offenem Gelände ist der wahrscheinlichste Ort, an dem man einen Betrunkenen antrifft, der überhaupt noch auf seinen Beinen stehen kann, irgendwo in der Nähe seines Ausgangspunktes.“" (Auszug aus [1])
Das Proseminar soll einen Einblick in die Theorie der Irrfahrten geben. Als Literaturvorlage
verwenden wir
das Buch "Irrfahrten - Faszination der Random Walks"
von Norbert Henze [1].
Es wird erwartet, dass jede*r Teilnehmende einen 45
Minütigen Vortrag hält. Ein Handout mit den wichtigsten
Definitionen, Ergebnissen und kurzen Beweisideen sollte
für die anderen Seminarteilnehmenden vorbereitet
werden.
Voraussetzungen:
Das Proseminar richtet sich an Studierende im
Bachelor- und Masterprogramm, die erste Einblicke in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik gewinnen möchten. Die Kenntnis der Vorlesung Einführung in die
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
ist hilfreich, kann aber auch parallel durch den Besuch der Vorlesung gewonnen werden.
Vortragsthemen:
Die einfache symmetrische Irrfahrt auf den ganzen Zahlen
Grundbegriffe und das Spiegelungsprinzip (Kapitel 2.1, 1 Vortrag )
Das Hauptlemma (Kapitel 2.2, 1 Vortrag )
Der Zeitpunkt der letzten Nullstelle (Kapitel 2.3, 2 Vorträge )
Die Anzahl der Nulstellen (Kapitel 2.4, 2 Vorträge )
Erstwiederkehrzeit und Rekurrenz (Kapitel 2.5, 1 Vortrag )
Verweilzeiten (Kapitel 2.6, 1 Vortrag )
Maximum und Minimum (Kapitel 2.7, 2 Vorträge )
Anzahl und Lage von Maximalstellen (Kapitel 2.8, 2 Vorträge )
Leiterzeitpunkte und Epochen (Kapitel 2.9, 2 Vorträge )
Schnittpunkte von Irrfahrten (Kapitel 2.10, 2 Vorträge )
Vorzeichenwechsel (Kapitel 2.11, 2 Vorträge )
Das Betragsmaximum (Kapitel 2.12, 2 Vorträge )
Test auf Symmetrie (Kapitel 2.13, 2 Vorträge )
Dualität: Neue Einsichten (Kapitel 2.14, 1 Vortrag )
Literatur:
[1]
"Irrfahrten - Faszination der Random Walks" Norbert Henze, Springer Spektrum Link zur PDF
