Alle Informationen zusammengefasst in
einem Dokument.
Vorbesprechung:
Dienstag, 28. April 2020,
14:15 Uhr, per Videokonferenz über
Webex.
Anmeldung:
Bitte melden Sie sich
über MÜSLI
für das Seminar und die Vorbesprechung an. Die Einladung zur
Videokonferenz wird gegebenenfalls
über MÜSLI
kommuniziert.
Termine:
Das Seminar findet online
als Blockseminar am 15. Juni (Teil
1) und am 16. Juni (Teil 2)
statt.
25. - 29. Mai: In einer ersten Vorbesprechung
(spätestens zwei Wochen vor dem Vortrag) gehen wir zusammen
die grobe Struktur des Vortrags durch und entscheiden,
welche Beweise/Beweisteile ausführlich vorgestellt
werden.
8. - 12. Juni: Bitte schickt uns eine (vorläufige)
Version eures Handouts zu. In der Woche vor dem Vortrag können
wir in einer zweiten Besprechung letzte Fragen klären und
überprüfen, ob die gewählte Vortragsmethode funktioniert
(Screensharing etc.).
Anfragen
bitte entweder direkt per eMail oder mittels des
Kontaktformulars.
Sprache:
Das Seminar wird in Deutsch angeboten.
Gebiet:
Angewandte Mathematik, Stochastik
Beschreibung des Seminars:
Das Seminar soll einen Einblick in die Extremwerttheorie
geben. Als Literaturvorlage verwenden wir
das Skript
zur Vorlesung Extremwerttheorie von Zakhar Kabluchko
(Universität Münster) [1].
Es wird erwartet, dass jede/r Teilnehmende einen 60
Minütigen Vortrag hält. Ein Handout mit den wichtigsten
Definitionen, Ergebnissen und kurzen Beweisideen sollte für
die anderen Seminarteilnehmenden vorbereitet werden.
Ablauf des Seminars:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie der Vortrag gehalten werden kann.
Folienvortrag mit Screensharing über WebEx, auch mit
gescannten handschriftlichen Notizen möglich,
"Live"-handgeschriebener Vortrag (z.B. mit Tablet,
eine Anleitung zum Abfilmen des Papiers z.B. mit einem Handy)
bei schlechter Internetverbindung: Vortrag vorher aufnehmen z.B. per Screenrecording
bei schlechter Internetverbindung:
Tafelvortrag/Beamervortrag im Seminarraum aufnehmen (Kamera
kann ausgeliehen werden)
Voraussetzungen:
Das Seminar richtet sich an fortgeschrittene Studierende im
Bachelor- und Masterprogramm, die in der Statistik sich
spezialisieren möchten und schon mit typischen Fragestellungen
der Vorlesung Einführung in die
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vertraut
sind. Kenntnis der Vorlesungen Wahrscheinlichkeitstheorie 1
und Statistik 1 ist hilfreich, wird aber nicht vorausgesetzt.
Vortragsthemen:
Teil 1: Extremwertverteilungen und Max-Anziehungsbereiche
Einführung: Was ist Extremwerttheorie? (Kapitel 1)
die Verteilung des Maximums einer Zufallsvariablen
die drei möglichen Extremwertverteilungen:
Gumbel, Fréchet, Weibull
der Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko
max-Anziehungsbereiche
Cauchy-Funktionalgleichung (Kapitel 2)
(Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von
Fisher-Tippett-Gnedenko)
Definition von additiven und multiplikativen Funktionen
Satz von Cauchy (Charakterisierung stetiger
additiver Funktionen)
Satz von Steinhaus, Satz von Ostrowski
(Charakterisierung messbarer additive Funktionen)
Hamel-Funktionen (Notwendigkeit der
Messbarkeitsbedingung)
Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko (Kapitel 3)
"convergence-of-types"-Theorem (Satz von Chintschin)
max-stabile Verteilungen
Äquivalenz von Extremwertverteilungen und
max-stabilen Verteilungen.
Charakterisierung von max-stabilen Verteilungen (und
von Extremwertverteilugen)
Regulär varierende Funktionen (Kapitel 4) (Hilfsmittel
für die Bestimmung von Max-Anziehungsbereichen)
langsam variierende und regulär variierende
Funktionen
Satz von Karamata (Darstellung von variierenden
Funktionen)
Abschätzungen (asymptotisches Verhalten, Satz von Potter)
Max-Anziehungsbereiche (Kapitel 5)
Bestimmung des Max-Anziehungsbereich der
Fréchet-Verteilung (mit Beweis)
Max-Anziehungsbereich der Weibull-Verteilung (ohne Beweis)
Max-Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung (ohne Beweis)
von Mises-Bedingungen (einfach zu überpüfende,
hinreichende Bedingungen für den
Max-Anziehungsbereich)
Teil 2: Statistik der Extremwertverteilungen
Blockmaxima, Peaks-over-Threshold - Methoden (Kapitel 6)
(Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein
Damm gebaut werden, damit eine Überflutung
unwahrscheinlich ist?
GEV-Verteilungen
Blockmaxima, Schätzung der GEV-Parameter mit der
Maximum-Likelihood-Methode
PP-Plots, QQ-Plots
Peaks-over-Threshold-Methode
Ordnungsstatistiken (Kapitel 7) (Simulationen (z.B. mit
R) sind erwünscht!)
motivierendes Beispiel: z.B. wie hoch sollte ein
Damm gebaut werden, damit eine Überflutung
unwahrscheinlich ist?
Verteilung von Ordnungsstatistiken, Markov-Eigenschaft
Verteilungskonvergenz von extremen Ordnungsstatistken
Darstellung von Ordnungsstatistiken
Beispiele: Ordnungsstatistiken der Exponential- und
Uniformverteilung
Gumbel-Überschreitungsmethode
Rekorde (Kapitel 8)
(Simulationen (z.B. mit R) sind erwünscht!)
Satz von Rényi
Verteilung der Anzahl der Rekorde
Verteilung der Rekordzeiten
Zentraler Grenzwertsatz für die Anzahl der Rekorde
und für Rekordzeiten
Literatur:
[1]Zakhar
Kabluchko (Institut für Mathematische Statistik,
Westfälische Wilhelms–Universität
Münster) Skript
zur Vorlesung Extremwerttheorie
